%     Gravitación -> Capítulo 8.
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% basado en la versión 1998-04-20
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% n.  [autor]; Sec ; Parrafo #.
%     Decia: '''';
%     Dice: '''';
%     Comentario: [opcional]
%     Fecha: aaaa-mm-dd
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\chapter{¡Al fin, problemas!}


\section{No te pongas a calcular, sino hasta que ya sepas la respuesta}

Para probar fuerzas y como preparaci\'on para los inevitables
ex\'a\-me\-nes, conviene hacer algunos {\bf ejercicios} y resolver algunos
{\bf problemas}, asuntos que no son id\'enticos.

Un ejercicio es algo que se hace muy r\'apido. El ejemplo
cl\'asico de ejercicio es: \textsf{Si  m=2 y la aceleraci\'on es 1,
¿cu\'anta es la fuerza?} Este ejemplo cl\'asico es tambi\'en
el origen de algunas malas pr\'acticas, pues, como  este ejemplo
solamente ejercita la memoria (recordar a
{\sl F = ma}) y de hacer un poco de aritm\'etica, mucha gente generaliza
y no distingue entre un chorro de ecuaciones y una buena soluci\'on
a un {\bf problema}.

Los problemas son otra cosa. Requieren que nos rasquemos la cabeza,
que consultemos libros en b\'usqueda de f\'ormulas, que hagamos dibujos
y c\'alculos aproximados, que miremos el techo y que salgamos a
menudo a pasear por el prado. A veces, hasta vale la pena conversar
esos problemas con los amigos. A menudo la soluci\'on se nos aparece mientras
le explicamos a otro en qu\'e consiste nuestro problema.

Aqu\'{\i} nos concentraremos en los problemas; los ejercicios tiene
que irlos inventando uno mismo, a medida que estudia. En el
cap\'{\i}tulo siguiente, mostramos unas cuantas maneras
de resolver los problemas planteados. En realidad, no interesa tanto la
cantidad de problemas que uno resuelva, como la \textsf{calidad} de las
soluciones. En vez de meternos en un largo y prematuro an\'alisis de la
palabra {\sl calidad}, en relaci\'on con la soluci\'on de problemas, esperamos
que la comparaci\'on de diversas soluciones nos permita empezar a
decir: {\sl esta soluci\'on es m\'as bonita; esta otra es m\'as
directa; \'esta es muy ingeniosa; esta soluci\'on es aburrida; etc.}

Finalmente ---ya que de gravitaci\'on se trata---, es conveniente tener
presente el consejo de John Wheeler, coautor de un famoso libro avanzado
acerca de gravitaci\'on, quien dice a sus alumnos: \textsf{cuando tengas que
resolver un problema, no te pongas a calcular sino cuando ya sepas la
soluci\'on}.
A medida que progreses en el arte, ver\'as que a pesar de las apariencias,
el consejo de Wheeler no es un consejo idiota.

Una manera de ir afinando nuestra intuici\'on f\'{\i}sica es, cuando
nos den un problema,  escribir de inmediato la soluci\'on, sin hacer
c\'alculos detallados.
M\'as adelante, despu\'es de haber obtenido con toda calma la soluci\'on,
la comparamos con nuestra ``corazonada'' inicial y si son muy
distintas, tendremos algo interesante en qu\'e pensar.

\section{Problemas}

\setlength{\fboxsep}{3pt}

\noindent \framebox  1 Supongamos estar en la superficie de la Tierra, pero en el polo sur.
\begin{itemize}
\item[i)] Si subimos 6.4 km, ¿en qu\'e fracci\'on disminuye {\sl
g}? (¡Usa tus profundos conocimientos de c\'alculo! )
\item[ii)] Si bajamos hasta el fondo de un pozo de 6.4 km, ¿en qu\'e fracci\'on disminuye {\sl g}?
\end{itemize}


\noindent \framebox 2 Se tienen dos rocas de forma esf\'erica, de radio un metro y cuya
densidad es igual a la densidad promedio de la Tierra.
La distancia entre sus superficies es  2 cent\'{\i}metros.

Si al soltarlas se mueven sometidas solamente a la atracci\'on
gravitacional mutua, ¿cu\'anto demoran en chocar?
{\sl ( Este es un problema famoso, porque Newton lo
resolvi\'o mal, asi que \'esta es una gran oportunidad para
hacer algo mejor que Newton.)}

\noindent \framebox 3 Un sat\'elite que se mueve en \'orbita rasante en
torno a la Tierra, tiene una rapidez de  8 km/s.

Si en vez de ponerlo en \'orbita d\'andole un empuj\'on horizontal,
se lo lanza verticalmente a  8 km/s, ¿qu\'e altura alcanza?,
¿cuanto demora en chocar con el suelo?


\noindent \framebox 4 Dicen los libros que la primera {\sl constante c\'osmica} es
aproximadamente $8$ \  km/seg, mientras que la  segunda constante
c\'osmica ser\'{\i}a $8\sqrt{2} $ \ km/seg. La tercera constante
c\'osmica se refiere al escape del sistema solar. Te propongo que
\underbar{estimes} esto \'ultimo.

\noindent \framebox 5 Aceptemos que una esfera homog\'enea atrae a una part\'{\i}cula
como si toda la masa de la esfera estuviese concentrada en su
centro. A partir de esto, demostrar que dos esferas homog\'eneas
se atraen como si sus respectivas masas estuviesen concentradas en sus
centros.
%\bye

\noindent \framebox 6 El per\'{\i}odo de un cierto cometa es 100 a\~nos y su
excentricidad es $\epsilon = 0.9 $. En relaci\'on con este
tipo de \'orbitas y cometas,
\begin{itemize}
\item[a)] Define un cierto significado ``razonable''
para la frase: {\sl estar en las cercan\'{\i}as del Sol}.
\item[b)] Compara cu\'anto tiempo este cometa pasa ``cerca del Sol'' y cu\'anto tiempo pasa ``lejos del Sol''.
\end{itemize}

\noindent \framebox 7 Se desea poner a un satelite en \'orbita circular. Se lleva la
c\'apsula hasta una distancia igual a 9000 km del centro de la
Tierra  y se le da la rapidez necesaria, pero se comete un
error de un grado ($1^{\circ} $) en el rumbo inicial, de modo que la velocidad
inicial apunta muy levemente hacia la Tierra, en vez de ser
perpendicular  con el radio terrestre. La pregunta es:

\noindent¿Entrar\'a en \'orbita terrestre? (No basta decir s\'{\i} o
no; hay que justificar cuantitativamente la respuesta).

\noindent \framebox 8 Uno de los grandes pozos del mundo est\'a en el norte de
Alemania. Tiene catorce kilometros de profundidad.

\noindent Si a un p\'endulo que, en la boca de ese pozo oscila con un
per\'{\i}odo de 1 seg, se lo lleva hasta el fondo,
¿qu\'e per\'{\i}odo tendr\'{\i}a all\'{\i}? (No interesa
solamente la aritm\'etica, sino que es importante discutir
todas las hip\'otesis y aproximaciones que se hayan hecho.)

\noindent \framebox{9} Una part\'{\i}cula est\'a describiendo una \'orbita circular, en
un campo del tipo $ -K/r^2. $

\noindent Demostrar que si ---por alg\'un milagro--- la constante K
disminuyese hasta la mitad de su valor, la part\'{\i}cula se
disparar\'{\i}a al infinito.

\noindent \framebox{10} Una part\'{\i}cula es lanzada desde el punto $ \vec r(0) =
(2,0,0) $ con velocidad  $\vec v(0)  = (0,3,0 )$. Se mueve
en un campo de fuerza tal, que  su aceleraci\'on es
$ \vec a = ( -10/r^2) \widehat r $. Encontrar su per\'{\i}odo.

\noindent \framebox{11} Una part\'{\i}cula de masa unidad ($ m = 1 $ ) se mueve en un campo tal,
que la fuerza sobre ella es $ \vec F = -32 \widehat r/r^2 $.
En el instante $t=0$, $\vec r(0) = (0,9) $ y
$\vec v(0) = (-4,+4)/3.$
\begin{itemize}
\item[a)] Dibujar su \'orbita;
\item[b)] Encontrar sus coordenadas en el instante $t=1 $.
\end{itemize}

\noindent \framebox{12} Leonov fue el primer cosmonauta que abri\'o la puerta de
su c\'apsula espacial, para ``bajarse''. Como consecuencia de esto se convirti\'o
en el primer ser humano que  ``camin\'o'' en el espacio.
Durante esta escapada, \'el lanz\'o directamente hacia la Tierra
el lente de su c\'amara. Por qu\'e lo hizo y qu\'e palabrotas
acompa\~naron su acci\'on, es un secreto de estado.

La \'orbita de Leonov era muy aproximadamente circular, con un
radio de 7000 km. Si la tapa de la lente fue lanzada radialmente,
con una rapidez de 10 m/seg, respecto a la c\'apsula, el problema
consiste en encontrar la \'orbita de la tapa.

Una vez que hayas encontrado la \'orbita de la tapa, respecto a
la Tierra, trata de encontrar la \'orbita de la tapa respecto a
la c\'apsula espacial.


\noindent \framebox{13}  Se est\'a pensando en un viaje desde la Tierra hasta Marte,
usando para el viaje una \'orbita Hohmann.
\begin{itemize}
\item[a)] Estima la duraci\'on del viaje Tierra--Marte;

\item[b)] Alguien afirma que, para viajes como el de la Tierra a
Marte, las \'orbitas de transferencia tipo Hohmann
son las que menos combustible requieren. ¿ Puedes demostrar o
refutar \'esto?
\end{itemize}

\noindent \framebox{14}  El per\'{\i}odo de un sat\'elite terrestre
rasante es $\approx  83$ min.

Si se hiciese un t\'unel, desde un polo terrestre al otro
y si en ese t\'unel no hubiese aire y en \'el se dejase caer una manzana,
 el per\'{\i}odo de oscilaci\'on de esta manzana es $\approx 83$ min.

El per\'{\i}odo de un p\'endulo, cuyo largo es igual al
radio de la Tierra, tambi\'en es pr\'acticamente igual a 83 min.

Si en el polo norte se instala una mesa con superficie
muy horizontal y, en el borde de ella se coloca un ladrillo, si entre
ladrillo y mesa no hubiese fricci\'on el ladrillo comenzar\'{\i}a a
oscilar, de un borde de la mesa al otro y el
per\'{\i}odo de este ladrillo tambi\'en ser\'{\i}a  $\approx 83$ min.

Explicar estas ``coincidencias''.



\noindent \framebox{15}  La distancia entre un planeta y el Sol es variable, tomando
valores entre $a(1-\epsilon) $  y  $a(1+\epsilon). $

Calcular el promedio temporal de esa distancia. (¡Cuidado! Este
promedio...¡\textsf{no} es igual al semi-eje mayor!)

\noindent \framebox{16} Si a una suegra la disparamos verticalmente con una rapid\'ez
de  $8\sqrt{2} $, sabemos que no volver\'a a caer nunca m\'as.
¿Qu\'e ocurrir\'{\i}a si en vez de lanzarla verticalmente,
la lanzamos tangente a la superficie terrestre?

\noindent \framebox{17} Un sat\'elite terrestre tiene un perigeo de 7500 km
y una excentricidad $\epsilon = 0.5$
\begin{itemize}
\item[i)] Calcular su per\'{\i}odo.

\item[ii)] Calcular cu\'anto tiempo despu\'es de pasar por el perigeo,
pasa por el punto de la \'orbita en que la anomal\'{\i}a central es
$\pi/2 $
\end{itemize}

\noindent \framebox{18} ¿Puede existir un sat\'elite cuya energ\'{\i}a total
 sea positiva? (Justifica tu afirmaci\'on).

\noindent \framebox{19} ¿Puede existir un sat\'elite cuyo vector de
Lenz sea $(0, \, 0, \, 0) $ (Justifica tu respuesta).

\noindent \framebox{20} Tenemos un sat\'elite terrestre, cuya masa es una tonelada, en
una \'orbita circular de radio $R_1$ y queremos ponerlo en otra
\'orbita circular de radio mayor, $R_2.$  Estimar c\'uanto
combustible debemos gastar. (Al quemar 1 miligramo de gasolina,
obtenemos 300 Joules.)

\noindent \framebox{21} Hay un sat\'elite en una \'orbita geoestacionaria. Se lo desea
cambiar a otra \'orbita, de igual tama\~no, pero que pase por encima
de los polos terrestres.
\begin{itemize}
\item[a)]  Estimar cu\'anta energ\'{\i}a es necesaria
para conseguir este cambio de \'orbita.

\item[b)]  Estimar cu\'anto combustible hay que quemar para conseguir
ese cambio de \'orbita. (Esta pregunta NO es igual a la anterior.)
\end{itemize}

\setlength{\fboxsep}{1em}

\begin{table}[h]
\caption{Datos Sistema Solar.}
\begin{tabular}{cccccc}
Objeto & Distancia & Masa & Tama\~no & Per\'{\i}odo & Excentricidad \\ \hline
MERCURIO & 0.387 & 0.04      & 0.366     & 0.24  & 0.206 \\
VENUS    & 0.723 & 0.83      & 0.96      & 0.61  & 0.007 \\
TIERRA   & 1.000 & 1.000     & 1.000     & 1.00  & 0.017 \\
MARTE    & 1.524 & 0.11      & 0.273     & 1.90  & 0.093 \\
JUPITER  & 5.204 & 318       & 10.97     & 11.9  & 0.048 \\
SATURNO  & 9.5   & 95        & 9.04      & 29.5  & 0.056 \\
URANO    & 19.2  & 15        & 3.71      & 84.0  & 0.047 \\
NEPTUNO  & 30.1  & 17        & 3.54      & 165.0 & 0.009 \\
PLUTON   & 39.5  & 0.8       & 1.02      & 248.0 & 0.249 \\
\end{tabular}
\end{table}

\subsection*{Datos Tierra}

\begin{itemize}
\item{} Distancia Tierra--Sol = $ 149.5 \times 10^6 $ km
\item{} Masa Tierra = $ 5.976 \times 10^{24} $ kg
\item{} Radio = 6368 km
\end{itemize}

\subsection*{Datos Luna}

\begin{itemize}
\item{} Masa = 0.012 masas terrestres.
\item{} Radio = 0.273 radios terrestres.
\end{itemize}


\subsection*{Datos Sol}

\begin{itemize}
\item{} Masa = 333434 masas de la Tierra.
\item{} Radio = 109187 radios terrestres.
\end{itemize}